Hochpass, Tiefpass & Bandpass

Schaltung 09 · 5 kleine Schritte

RC-Tiefpass: am Kondensator messen

Eine ideale Sinusquelle speist R1 und C1. Eingang A–B, Ausgang M–B. Der Ausgang ist unbelastet. Wir vergleichen Spitzenwerte im eingeschwungenen Zustand, nicht den Einschaltvorgang.

Über welchem Bauteil wird die Ausgangsspannung gemessen?
Hinweis
Folge M und B.
Lösung und Rechenweg
Über C1. Die Wahl des Messpunkts macht aus dieser Anordnung einen Tiefpass.
Was erwartest du bei sehr kleiner Frequenz?
Hinweis
Der kapazitive Blindwiderstand steigt bei sinkender Frequenz.
Lösung und Rechenweg
Fast die gesamte Eingangsspannung liegt an C1: U_out nähert sich 1 V Spitze.
Berechne die Grenzfrequenz.
Hinweis
100 nF = 0,0000001 F; f_c = 1/(2πRC).
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$C=100\,\mathrm{nF}=10^{-7}\,\mathrm{F}$
$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$
$f_c=\frac{1}{2\pi\cdot1000\,\Omega\cdot10^{-7}\,\mathrm{F}}$
${f_c\approx1592\,\mathrm{Hz}}$
Wie groß sind Ausgang und Phase bei f_c?
Hinweis
Der Betrag beträgt 1/√2; der Tiefpass verzögert die Phase.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$|H(f_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\hat U_{\mathrm{out}}=\frac{1\,\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx0{,}707\,\mathrm{V}$
$G=20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx-3{,}01\,\mathrm{dB}$
${\varphi=-45^{\circ}}$
Die Spannung beträgt hier nicht die Hälfte des Eingangswerts.
Verdopple C1. Wohin wandert f_c? Prüfe im Filtermodell.
Hinweis
f_c ist umgekehrt proportional zu C.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$C_{\mathrm{new}}=2C$
$f_{c,\mathrm{new}}=\frac{1}{2\pi R\cdot2C}=\frac{f_c}{2}$
${f_{c,\mathrm{new}}\approx796\,\mathrm{Hz}}$
Diese Rechnung gilt ohne zusätzliche Last am Ausgang.

Erst selbst überlegen, dann die Lösung öffnen. Notiere bei Rechnungen immer Formel, eingesetzte Werte und Einheit.

Schaltung 10 · 5 kleine Schritte

RC-Hochpass: am Widerstand messen

C1 liegt nun im Signalweg; R1 verbindet M mit B. Eingang A–B, Ausgang M–B. Ideale Quelle, keine zusätzliche Last. Bauteilwerte und Grenzfrequenz sind wie beim Tiefpass.

Über welchem Bauteil liegt der Ausgang?
Hinweis
Folge den Punkten M und B.
Lösung und Rechenweg
Über R1. Gegenüber dem Tiefpass wurden R und C vertauscht.
Was bleibt bei dauerhaft konstanter Eingangsspannung am Ausgang?
Hinweis
Nach dem Umladen fließt durch den idealen Kondensator kein Gleichstrom.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$I_{\mathrm{DC}}=0$
${U_{\mathrm{out,DC}}=R\cdot I_{\mathrm{DC}}=0\,\mathrm{V}}$
Das gilt nach dem Einschwingen. Beim Einschalten kann kurzzeitig eine Ausgangsspannung entstehen.
Berechne f_c.
Hinweis
f_c = 1/(2πRC), unabhängig davon, welches Bauteil unten liegt.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$
$f_c=\frac{1}{2\pi\cdot1000\,\Omega\cdot10^{-7}\,\mathrm{F}}$
${f_c\approx1592\,\mathrm{Hz}}$
Gleiche Grenzfrequenz bedeutet nicht gleicher Frequenzgang.
Bestimme Betrag und Phase bei f_c.
Hinweis
Betrag 1/√2; beim Hochpass eilt der Ausgang voraus.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$\hat U_{\mathrm{out}}=\frac{1\,\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx0{,}707\,\mathrm{V}$
$G\approx-3{,}01\,\mathrm{dB}$
${\varphi=+45^{\circ}}$
Vergleiche Hoch- und Tiefpass bei 10 · f_c.
Hinweis
Hochpass: x/√(1+x²); Tiefpass: 1/√(1+x²), x=f/f_c.
Lösung und Rechenweg
Rechenblatt
$x=\frac{f}{f_c}=10$
$|H_{\mathrm{HP}}|=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{10}{\sqrt{101}}$
${\hat U_{\mathrm{HP}}\approx0{,}995\,\mathrm{V}}$
$|H_{\mathrm{LP}}|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{101}}$
${\hat U_{\mathrm{LP}}\approx0{,}0995\,\mathrm{V}}$
Vergleiche beide Kurven im Modell bei etwa 15,9 kHz.

Erst selbst überlegen, dann die Lösung öffnen. Notiere bei Rechnungen immer Formel, eingesetzte Werte und Einheit.

Das Bild im Kopf

Denk an zwei Wege, deren Durchlässigkeit sich mit dem Tempo verändert. Bei einem RC-Glied verschiebt sich mit der Frequenz das Verhältnis der Spannungen an Widerstand und Kondensator. Die Übergänge sind weich; Frequenzen werden nicht wie mit einer Schere abgeschnitten.

Das Prinzip

Beim RC-Tiefpass liegt der Kondensator am Ausgang gegen den Bezugspunkt. Beim RC-Hochpass liegt er im Signalweg, der Widerstand am Ausgang gegen den Bezugspunkt. Ein Bandpass kombiniert eine untere und obere Begrenzung. Ungepufferte Stufen beeinflussen einander.

Selbst ausprobieren

Interaktives Experiment

Hochpass, Tiefpass & Bandpass

Erhöhe C. Beide Grenzfrequenzen wandern nach unten, aber die beiden Kurven lassen jeweils andere Frequenzbereiche passieren.

Widerstand10 kΩKapazität0.1 µF

Modellgrenzen: Getrennt betrachtete ideale RC-Hoch- und Tiefpässe ohne Ausgangslast. Keine reale Kaskadierung.

Ein konkretes Beispiel

10 kΩ und 0,1 µF ergeben rund 159 Hz Grenzfrequenz. Genau dort haben beide idealen Ausgänge 70,7 % Spannungsbetrag. Daraus darfst du nicht einfach ihre dB-Werte oder Beträge addieren: Die Phasen unterscheiden sich.

Genauer verstehen · Formeln und Annahmen

Formelblatt

$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$

$H_{\mathrm{LP}}=\frac{1}{1+j\omega RC}$

$H_{\mathrm{HP}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$

Ein Filter erster Ordnung besitzt asymptotisch 20 dB pro Dekade beziehungsweise etwa 6 dB pro Oktave Flankensteilheit. Bei Kaskaden addieren sich die Übertragungsfunktionen nicht: Sie werden multipliziert. Das gilt für passend entkoppelte Stufen; bei gegenseitiger Belastung muss die gesamte Schaltung berechnet werden.

Ein häufiger Denkfehler. Zwei hintereinander geschaltete RC-Glieder sind nicht automatisch ein beliebiger Butterworth- oder Linkwitz-Riley-Filter. Ordnung, Güte und Lastbedingungen gehören zusammen.

Werkstattfazit

Immer dazusagen, wo der Ausgang abgegriffen wird. Erst die Grundschaltung beherrschen, dann höhere Ordnungen zusammensetzen.

Quellen & Nachvollziehbarkeit

MIT OpenCourseWare · Circuits and Electronics ↗

Eigene Illustrationen und Lehrrechnungen. Keine Messdaten eines konkreten Produkts. Redaktioneller Stand: 11.10.2026.

Selbst rechnen · Lösungen aufklappen

Notiere zuerst deine Vermutung, danach deine Rechnung. Öffne die Lösung erst zum Vergleichen.

01 · RC-Tiefpass: R = 1 kΩ, C = 100 nF. Berechne die Grenzfrequenz bei idealer Quelle und unbelastetem Ausgang über C.

Lösung mit Rechenweg anzeigen

RC = 0,0001 s.
fg = 1/(2πRC).
fg = 1591,55 Hz.

Rechenweg

$f_c=\frac{1}{2\pi RC}=1591{,}55\,Hz$

02 · Welchen Spannungsfaktor und dB-Wert besitzt dieser Tiefpass bei fg?

Lösung mit Rechenweg anzeigen

Faktor = 1/√2 = 0,7071.
20 log10(0,7071).
Ergebnis: -3,01 dB.

Rechenweg

$|H(f_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}};\quad 20\log_{10}|H|=-3{,}01\,dB$

03 · Bestimme den Spannungsfaktor dieses Tiefpasses bei der zehnfachen Grenzfrequenz.

Lösung mit Rechenweg anzeigen

Frequenzverhältnis: 10.
Faktor = 1/√(1 + 10²).
0,0995 beziehungsweise -20,04 dB.

Rechenweg

$|H|=\frac{1}{\sqrt{101}}=0{,}0995$

04 · Du möchtest fg des RC-Tiefpasses halbieren und R beibehalten. Was änderst du?

Lösung mit Rechenweg anzeigen

fg ist umgekehrt proportional zu C.
Kapazität verdoppeln.
Aus 100 nF werden 200 nF.

Rechenweg

$f_c\propto\frac{1}{C}$

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